Zero é par ou ímpar ??

Agora solucionaremos uma das grandes dúvidas de vários amigos jogadores, mas como somos orgulhosos não perguntamos para ninguem:

ZERO É PAR OU ÍMPAR ??


Por convenção o número zero é par. Quer dizer, é conveniente adotar o número zero como par. Por que é conveniente colocar o zero como par? Algumas respostas: 
1) Os números pares e ímpares aparecerão alternados. Isto é, 
0 (par) , 1(ímpar), 2(par), 3(ímpar), etc
Note a alternância: par, ímpar, par, ímpar, ... 

2) o subconjunto dos números pares terão a seguinte propriedade: 
A soma de dois números pares é também um número par. Exemplos 2 + 4 =6; 0 + 8=8 etc. 

3) os números pares seriam aqueles que dividindo por 2 temos resto igual a zero. Exemplos 4 : 2 = 2 com resto da divisão igual a zero. 5 : 2=2 com resto 1. 

As respostas 1),2) e 3) justificam o porquê de convencionar o zero como par. 

Porém o numero zero não seria par por definição. Para entender isto é necessário entender a definição de par. Por definição, um número é dito par se em sua representação por tracinhos, cada tracinho tem o seu par. Imagine em um baile cada um tem o seu par. Daí vem o nome par. Agora veja os exemplos numéricos:

3 = | | | 
O que está acima representação do número 3 por tracinhos.
Note, que neste caso, temos um par (o primeiro como o segundo tracinho) mas fica sobrando um tracinho( o 3º tracinho) sem seu par. Analogamente 

5 = | | | | |
Note que o 5º tracinho ficará sem par. 

Vemos que o 5 pela definição acima (definição via tracinhos) é não par (dize-se ímpar). Mas 

4 = | | | | 

o número 4 é par. (Aqui cada tracinho tem o seu par).

Assim o número 1 = | é obviamente não par (ímpar). (Aqui há um tracinho que não tem o seu par). Agora finalmente podemos entender o que acontece como o número zero. Veja abaixo a representação do número zero via tracinhos: 

0 = 

Note que não há tracinho algum. Por isto, não se pode dizer nada a cerca de pares de tracinhos. Isto é, que tracinho fica com que tracinho, pois não há tracinhos! Assim o número zero segundo a definição acima não é par. Também não é impar, pois não sobrou nenhum tracinho sem par. 

Conclusão: Zero é um número par por convenção apenas. 

Outro situação parecida é o fatorial. Por exemplo: 
3! é definido como 3x2x1; 6! é definido como 6x5x4x3x2x1. Desta forma 1! é igual a 1 por definição, mas segundo a definição acima não se pode dizer nada sobre 0!. Porém, devido a fórmulas de combinatória bem conhecidas, por exemplo

(n tomados p a p)= n!/[(n - p)!p!]

e
(a + b)^n = soma_{p=0 até n} (n tomados p a p) a^(n - p) b^p 

é que se convenciona adotar 0! como sendo igual a 1.

Moral da estória: Quando estabelecemos uma definição, as coisas ficam mais fáceis de serem entendidas. E no par o ímpar o 0 (zero) é par !!


Se não esta satisfeito leia o estudo abaixo !!

Even Functions

A function is "even" when:

f(x) = f(-x) for all x

In other words there is symmetry about the y-axis (like a reflection):

This is the curve f(x) = x²+1

It is called "even" because even exponents like x², x⁴, x⁶, etc behave like that, but there are other functions that do that, too, such as cos(x):

Cosine function: f(x) = cos(x)

Odd Functions

A function is "odd" when:

-f(x) = f(-x) for all x

Note the minus in front of f: -f(x).

And we get origin symmetry:

This is the curve f(x) = x³-x

It is called "odd" because odd exponents like x, x³, x⁵, etc behave like that, but there are other functions that do that, too, such as sin(x):

Sine function: f(x) = sin(x)

Neither Odd nor Even

Don't be misled by the names "odd" and "even" ... they are just names and a function does not have to beeven or odd.

In fact most functions are neither odd nor even. For example, just adding 2 to the curve above gets this:

This is the curve f(x) = x³-x+1

It is not an odd function, and it is not an even function either.

Even or Odd?

Example: is f(x) = x/(x²-1) Even or Odd or neither?

Let's see what happens when we substitute -x:

Put in "-x":		f(-x)	= (-x)/((-x)2-1)
Simplify:			= -x/(x2-1)
			= -f(x)

So f(-x) = -f(x) and hence it is an Odd Function